Создать аккаунт
Войти





18.5 MB

Twitter Facebook Google Livejournal Pinterest

Ивин а. логика учебник скачать


Описание: Ивин а. логика учебник скачать
Имя файла: ivin-a-logika-uchebnik
ВВЕДЕНИЕ
Математика развивается по своим внутренним законам, а именно по законам логики. Математическая логика – это теория верных рассуждений. Строго говоря, математическая логика – это наука о доказательствах и основаниях математики, причем доказательства строятся по законам логического вывода. Математическую логику еще называют формальной, потому что она позволяет проверить правильность рассуждений независимо от их содержания. Цепочки рассуждений в совершенно разных областях математики и других наук можно одинаково описать на языке логики и убедиться в их справедливости или ошибочности в действии, что позволяет включить её в структуру изучения для совершенствования профессиональных навыков и умений.

В результате изучения дисциплины студент должен

знать:


  • основные тождества теории множеств;

  • основные равносильности, или логические законы алгебры высказываний;

  • основные требования (аксиомы) булевой алгебры;

  • способы доказательства теорем;

  • основные правила при построении правильных рассуждений, в том числе и метод математической индукции;

  • логику предикатов;

уметь:

  • выполнять операции над множествами и давать определения операциям;

  • преобразовывать логические высказывания с помощью логических связок и таблиц истинности и давать определения этим связкам;

  • оперировать (применять) аксиомами булевой алгебры при выполнении упражнений для эквивалентных преобразований;

  • применять схемы доказательств теорем к решению задач;

  • использовать метод математической индукции (принцип математической индукции) при выводе формул;

  • исследовать предикатные формулы и устанавливать их истинность.

Содержание курса
^


Предмет изучения математической логики
Студент должен

иметь представление:


  • о месте и роли современной логики (математической) как особой науки о мышлении.

Определение математической (формальной) логики. Интуитивная логика. Правильные и неправильные рассуждения. Старая и новая логика. Язык математической логики. Межпредметная связь математической логики. Значение математической логики для специальности «техник-программист».
Библиографический список


  1. Ивин А.А. Логика: Учебник. – М.: Гардарики, 2000. – Гл. 1.

Тема 2


Математические понятия и построение математических

теорий
Студент должен

знать:


  • определение понятия;

  • определение объема понятия;

  • определение содержания понятия;

  • определение характеристического свойства понятия;

  • требования к перечню существенных признаков определения;

  • определение теоремы;

  • структуру построения математической теории;

уметь:

  • раскрывать словами объем понятия;

  • объяснять словами содержание понятия;

  • дать характеристическое свойство понятия;

  • применять требования к существованию определения;

  • уметь строить математическую (аксиоматическую) модель.

Определение понятия. Объем и содержание понятия. Характеристическое свойство понятия. Определение. Требования к определению. Свойства понятия. Вид математической теории.
Библиографический список
1. Балк М.Б., Балк Г.Д. Математика после уроков: Пособие. – М.: Просвещение, 1971. – Гл. VII, § 23.

Тема 3


Множества
Студент должен

знать:


  • определение понятия множества;

  • способы задания множеств;

  • обозначения числовых множеств;

  • виды множеств;

  • равенство множеств через определение равенства множеств;

  • определение подмножества множества;

уметь:

  • давать определение понятия множество;

  • задавать множества различными способами;

  • обозначать числовые множества;

  • классифицировать виды множеств;

  • определять равные множества;

  • находить подмножество множества.

Понятие множества. Элементы множества. Способы задания множеств. Обозначения числовых множеств. Виды множеств. Равенство множеств. Подмножества множеств.
Библиографический список


  1. Балк М.Б., Балк Г.Д. Математика после уроков. – М.: Просвещение, 1971. – Гл. 2, § 1.

  2. Редьков М.И. Элементы теории множеств и логики. – Омск, 1973.

  3. Турецкий В.Я. Математика и информатика: Учебник. – М.: Инфра-М, 2000. – Гл. 1, лекции 1.1–1.4.

  4. Москинова Г.И. Дискретная математика: Пособие. – М.: Логос, 2002. – Гл. 1, § 1.1.

Тема 4


Операции над множествами
Студент должен

знать:


  • определение объединения множеств;

  • определение пересечения множеств;

  • определение разности множеств;

  • определение дополнения множеств;

уметь:

  • находить объединение двух и более множеств;

  • находить пересечение двух и более множеств;

  • находить разность двух множеств;

  • находить дополнение множества (одного) до другого множества;

  • записывать операции над множествами при помощи символов;

  • графически иллюстрировать операции над множествами на диаграммах Эйлера-Венна.

Операции для множеств. Объединение множеств. Пересечение множеств. Разность множеств. Дополнение одного множества до другого. Диаграммы Эйлера-Венна.
Библиографический список


  1. Редьков М.И. Элементы теории множеств и логики. – Омск, 1973.

  2. Турецкий В.Я. Математика и информатика: Учебник. – М.: Инфра-М, 2000. – Гл.1, лекция 1.5.

  3. Москинова Г.И. Дискретная математика: Учебное пособие. – М.: Логос,. 2002 – Гл.1, §1.2.
Тема 5

Основные алгебраические свойства операций

над множествами
Студент должен

знать:


  • основные тождества операций над множествами;

уметь:

  • применять основные тождества для преобразования выражений.

Общая характеристика алгебраических свойств (эквивалентных соотношений). Закон ассоциативности пересечения и объединения множеств. Закон коммутативности объединения и пересечения множеств. Закон дистрибутивности объединения (пересечения) относительно пересечения (объединения) множеств. Свойства универсального U и пустого Ø множеств. Закон исключенного третьего. Закон противоречия. Принцип двойственности. Дополнительные свойства операций над множествами.
Библиографический список


  1. Редьков М.И. Элементы теории множеств и логики. – Омск, 1973.

  2. Турецкий В.Я. Математика и информатика: Учебник. – М.: Инфра-М, 2000. – Гл. 1, Лекция 1.6.

  3. Москинова Г.И. Математика: Учебное пособие. – М.: Логос, 2002.– Гл.4, §4.6.
^
Основные понятия логики высказываний. Операции логики высказываний
Студент должен

знать:


  • определение высказывания;

  • определение простого высказывания;

  • определение сложного высказывания;

  • определение логических связок (операций) логики высказываний: дизъюнкции, отрицания, импликации, эквиваленции;

  • требования для логической формулы;

уметь:

  • отличать, распознавать простое высказывание от сложного высказывания;

  • оперировать логическими связками для построения высказываний;

  • представлять логическими формулами высказывания;

  • определять истинность или ложность высказывания с помощью таблиц истинности.

Высказывание как традиционный объект раздела логики. Определение высказывания. Виды высказываний. Основные логические связки (операции) логики высказываний. Алфавит логики высказываний. Логические формулы и условия их существования. Таблицы истинности. Алгоритм построения истинностной таблицы сложного высказывания.

Библиографический список


  1. Ивин А.А. Логика: Учебник. – М.: Гардарики, 2000.– Гл.6, Гл.7, §1.

  2. Москинова Г.И. Дискретная математика: Пособие. – М. Логос, 2002. – Гл.4, §1.4.

  3. Турецкий В.Я. Математика и информатика: Учебник. – М.: Инфра-М, 2000. Гл.3, п.3.1.

Тема 7


Основные равносильности алгебры высказываний
Студент должен

знать


  • основные равносильности алгебры высказываний;

уметь

  • применять основные равносильности алгебры высказываний при решении логических задач;

  • доказывать основные равносильности алгебры высказываний с помощью таблиц истинности.

Определение истинности формулы логики. Определение равносильности двух формул логики. Закон ассоциативности дизъюнкции и конъюнкции. Закон коммутативности дизъюнкции и конъюнкции. Закон дистрибутивности дизъюнкции (конъюнкции) относительно конъюнкции (дизъюнкции). Свойства истинного и ложного высказываний. Закон исключенного третьего. Закон противоречия. Принцип двойственности в алгебре высказываний. Дополнительные свойства равносильностей алгебры высказываний.
Библиографический список


  1. Редьков М.И. Элементы теории множеств. – Омск, 1973.

  2. Турецкий В.Я. Математика и информатика: Учебник. – М.: Инфра-М, 2000. – Гл.3, п.3.2.
Тема 8

Основные схемы логически правильных рассуждений

(важнейшие законы логики)
Студент должен

знать:


  • определение тождественно истинного высказывания или тавтологии;

  • определение тождественно ложного высказывания или противоречия;

  • основные законы логики;

уметь:

  • отличать тавтологию от противоречия;

  • использовать основные законы логики для построения таблиц истинности;

  • доказывать тавтологии с помощью таблиц истинности;

  • проводить аналогию между высказываниями и множествами.

Определение тавтологии и противоречия. Основные законы логики: закон исключенного третьего, закон противоречия, закон силлогизма, закон двойного отрицания, закон контрапозиции, закон исключения импликации, закон исключения эквиваленции, закон отрицания импликации. Аналогия между тавтологией и универсальным множеством. Аналогия между пустым множеством и противоречием. Принцип двойственности (полный). Таблица соответствия между множествами и высказываниями.
Библиографический список


  1. Турецкий В.Я. Математика и информатика: Учебник. – М.: Инфра-М, 2000. – Гл.3, п.3.3.

  2. Ивин А.А. Логика: Учебник. – М.: Гардарики, 2000. – Гл.7.

  3. Москинова Г.И. Дискретная математика: Учебное пособие. – М.: Логос, 2002. – Гл.4, §4.2.
Тема 9

Правила логического вывода
Студент должен

знать:


  • определение логического следствия;

  • определение посылки и заключения логического следствия;

  • формальный инструмент правильного доказательства теорем;

уметь:

  • правильно составлять совместную таблицу истинности посылок и заключений;

  • формулировать любую теорему или высказывание по единой форме логического высказывания;

  • выявлять логические ошибки в доказательстве;

Обобщение правил логического вывода (основных законов) логики.

Библиографический список


  1. Турецкий В.Я. Математика и информатика.: Учебник – М.: Инфра-М, 2000. – Гл.3, п.3.4.

  2. Ивин А.А. Логика: Учебник. – М.: Гардарики, 2000. – Гл.9, §5, 6.
^
Булева алгебра
Студент должен

знать:


  • определение булевой алгебры;

  • основные зависимости булевой алгебры;

уметь:

  • отличать булеву алгебру от алгебры высказываний;

  • применять основные зависимости булевой алгебры для преобразования выражений;

  • проводить аналогию между булевой алгеброй, теорией множеств и алгеброй высказываний.

Определение булевой алгебры. Основные зависимости булевой алгебры: закон ассоциативности сложения и умножения, закон коммутативности сложения и умножения, закон дистрибутивности сложения (умножения) относительно умножения (сложения), закон исключенного третьего, закон противоречия, свойства констант 0 и 1. Принцип двойственности. Дополнительные свойства булевой алгебры. Примеры булевых алгебр.
Библиографический список


  1. Москинова Г.И. Дискретная математика: Учебное пособие. – М.: Логос,. 2002. – Гл.4, §4.6.

  2. Балк М.Б., Балк Г.Д. Математика после уроков: Пособие. – М.: Просвещение, 1971. – Гл.7, п.2-4.

Тема 11


Предикаты. Основные понятия
Студент должен

знать:


  • определение предиката;

  • виды предикатов;

  • определение тождественно истинного предиката;

  • определение тождественно ложного предиката;

  • определение логического следствия предиката;

  • определение логической эквиваленции предикатов;

уметь:

  • распознавать предикаты;

  • устанавливать истинность или ложность предикатов;

  • осуществлять операции над предикатами.

Понятие предиката. Определение предиката. Определение тождественно истинного предиката и тождество ложного предиката. Виды предикатов.

Операции над предикатами: логическое следствие предиката и логическая эквиваленция (равносильность) предикатов.
Библиографический список


  1. Балк М.Б., Балк Г.Д. Математика после уроков: Пособие. – М.: Просвещение, 1971. – гл.7, §2.1.

  2. Москинова Г.И. Дискретная математика: Учебное пособие. – М.: Логос, 2002. – Гл.5, §5.1.

  3. Редьков М.И. Элементы теории множеств и логики. – Омск, 1973.

  4. Ивин А.А. Логика: Учебник – М. Гардарики, 2000. – Гл.9,. §3.

Тема 12


Кванторы. Свойства кванторов
Студент должен

знать:


  • определение квантификации переменной;

  • определение связанной переменной;

  • определение свободной переменной;

  • определение области действия квантора;

  • закон обобщения конъюнкции высказываний через квантор всеобщности;

  • закон обобщения дизъюнкции высказываний с помощью квантора существования;

  • закон дистрибутивности квантора общности (существования) относительно конъюнкции (дизъюнкции);

уметь:

  • распознавать кванторы;

  • записывать символически кванторы;

  • прочитывать кванторы;

  • производить операцию навешивания кванторов;

  • различать связанную и свободную переменную;

  • применять законы обобщения кванторов для записи высказываний;

  • Применять закон дистрибутивности кванторов в записях для высказываний.

Понятие квантора и свойства кванторов.
Библиографический список


  1. Балк М.Б., Балк Г.Д. Математика после уроков. – М.: Просвещение, 1971. – Гл.7, §2.2.

  2. Редьков М.И. Элементы теории множеств и логики. – Омск, 1973.

  3. Москинова Г.И. Дискретная математика: Учебное пособие. – М.: Логос, 2002. – Гл.5, §5.2.
Тема 13

Эквивалентные соотношения в логике предикатов.

Префиксная нормальная форма (ПНФ)
Студент должен

знать:


  • основные формулы эквивалентных соотношений;

  • префиксную нормальную формулу (ПНФ);

  • процедуру получения ПНФ;

уметь:

  • применять эквивалентные соотношения при иллюстрации справедливости предикатов;

  • приводить предикатные формулы к ПНФ.

Цель введения косвенных приемов, в том числе эквивалентных соотношений в логике предикатов. Основные равносильности предикатов, полученные с помощью кванторов всеобщности и кванторов существования. Вид префиксной нормальной формы. Алгоритм получения ПНФ.
Библиографический список


  1. Москинова Г.И. Дискретная математика: Учебное пособие. – М.: Логос, 2002. – Гл.5, §5.4.

Тема 14


Закон отрицания предикатов
Студент должен

знать:


  • правило отрицания предикатов.

уметь:

  • применять правило отрицания предикатов для построения предикатных формул.

Правила отрицания предикатов. Отрицание предиката на примере закона исключенного третьего.
Библиографический список


  1. Балк М.Б., Балк Г.Д. Математика после уроков: Пособие. – М. : Просвещение,. 1971. – Гл. 7, §2.3.

  2. Москинова Г.И. Дискретная математика: Учебное пособие. – М. : Логос,. 2002. – Гл.5, §5.4.

  3. Редьков М.И. Элементы теории множеств и логики. – Омск, 1973.

Тема 15


Теоремы и их доказательства
Студент должен

знать:


  • виды теорем;

  • способы доказательства теорем;

уметь:

  • определять вид теоремы;

  • доказывать теорему тем или иным способом.

Понятие теоремы. Виды теорем. Способы доказательства теорем с помощью законов логики.
Библиографический список


  1. Редьков М.И. Элементы теории множеств и логики. – Омск, 1973.

  2. Ивин А.А. Логика: Учебник. – М.: Гардарики, 2000. – Гл.9, §1.
^
Индукция и дедукция в рассуждениях. Индукция при поиске математических закономерностей. Индукция при поиске способа решения задачи или доказательстве теорем
Студент должен

знать:


  • сущность индуктивного и дедуктивного методов;

  • «крайние» случаи при поиске способа решения задачи или доказательстве теоремы;

  • предельные случаи при поиске способа решения задачи или доказательстве теоремы;

уметь:

  • применять индуктивный метод при поиске способа решения задачи.

Дедукция и индукция. Индукция в математике. Индукция при поиске математических закономерностей. Индукция при поиске решения задачи. Разновидности индукции. «Крайние» и предельные случаи индукции. Факты как примеры и иллюстрации.
Библиографический список


  1. Балк М.Б., Балк Г.Д. Математика после уроков: Пособие. – М.: Просвещение,. 1971. – Гл. 7, §4.4.

  2. Ивин А.А. Логика: Учебник. – М.: Гардарики, 2000. – Гл.10. §1, 2.
Тема 17

Аналогия в рассуждениях и в математике
Студент должен

знать:


  • прием аналогии при поиске решения задачи или доказательстве теорем;

  • схему умозаключения по аналогии в рассуждениях;

уметь:

  • использовать аналогию в определениях понятий, в свойствах фигур, при доказательстве теорем и при поиске способа решения задач;

  • использовать схему умозаключения по аналогии в рассуждениях.

Аналогия в рассуждениях и в математике. Аналогия в определениях понятий. Аналогия в свойствах фигур. Аналогия при доказательстве теорем и при поиске способа решения задачи. Применение аналогии при разыскании фигуры по характеристическому свойству её точек. Схема умозаключения по аналогии. Свернутые аналогии. Аналогия свойств и отношений. Аналогия как сходство несходного. Вероятность выводов по аналогии. Открытия и изобретения по аналогии. Типичные ошибки.
Библиографический список


  1. Балк М.Б., Балк Г.Д. Математика после уроков: Пособие. – М.: Просвещение,. 1971. – Гл. 7, §4, пп. 1 – 4.

  2. Ивин А.А. Логика: Учебник. – М.: Гардарики, 2000. – Гл.10. §3.

тема 18


Метод математической индукции (ММИ)
Студент должен

знать:


  • суть метода или принципа математической индукции;

  • основные этапы доказательства методом математической индукции;

  • виды математической индукции;

уметь:

  • применять принцип математической индукции при доказательстве теорем и выводе формул.

Понятие о математической индукции. Суть метода математической индукции. Основные этапы доказательства по принципу математической индукции. Формы метода математической индукции: обычная, обобщенная, усиленная.
Библиографический список


  1. Балк М.Б., Балк Г.Д. Математика после уроков: Пособие. – М.: Просвещение,. 1971. – Гл. 7, §5, пп. 1 – 4.

  2. Шипачев В.С. Математический анализ: Учебное пособие. – М.: Высшая школа, 1999. – Гл.1, §4.
Тема 19

Софизмы и парадоксы
Студент должен

знать:


  • на понятийном уровне о ложных утверждениях;

уметь:

  • опровергать ложные утверждения с помощью убедительных аргументов;

  • исключать обнаруженную ошибку в математических софизмах.

Понятие о софизмах и парадоксах. Традиционное истолкование софизмов. Апории Зенона. Софизмы и зарождение логики. Логические парадоксы (наиболее известные: парадокс «Лжеца», парадокс Рассела). Математические софизмы.
Библиографический список


  1. Ивин А.А. Логика: Учебник. – М.: Гардарики, 2000. – Гл.11.

  2. Балк М.Б., Балк Г.Д. Математика после уроков.: Пособие. – М.: Просвещение, 1971. – Гл.1, §11.

Список дополнительной литературы:


  1. Горский Д.П. и др. Краткий словарь по логике. – М.: Просвещение,1991.

  2. Кондаков Н.И. Логический словарь - справочник. – М.: Наука, 1995.

  3. Гетманова А.Д. Учебник по логике. ­ М. ЧеРо, 1997.

  4. Мельников В.Н. Логические задачи. – Киев: Вища школа, 1989.

  5. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. – М., 1997.

  6. Шиеперман Л.Б. Сборник задач по алгебре и теории чисел. – 1982.

  7. Гржегорчик А. Популярная логика. – М.: Наука, 1965.

  8. Брадис В.М. и др. Ошибки в математических рассуждениях. – М.: Просвещение, 1967.

Блок контроля
Результатом изучения курса «Математическая логика» является выполнение студентами трех текущих контрольных работ.
^

Множества
1. Задайте множество общим свойством его элементов:

а) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, А – множество…

б) {0, 2, 4, 6, 8}, В – множество…

в) {а; я; у; ю; э; е; о; ы; и}, С – множество…

2. По какому признаку составлено множество:

а) ^

б) В={Атос; Партос; Арамис};

в) С={сложение; вычитание; умножение; деление};

г) Д={30; 31; 32; 33; 34; 35; 36; 37; 38; 39};

д) К={Москва}.

3. На рисунке обозначены все элементы множеств А, В и С. Запишите с помощью фигурных скобок, из каких элементов состоят эти множества. Является ли множество А подмножеством В? Является ли множество А подмножеством С? Является ли подмножеством В множество С? Сделайте записи.

4
. Найдите пересечение множеств и раскрасьте его (перенеся рисунок).
5. Расположите 4 элемента на диаграммах А и В так, чтобы в них было соответственно: а) по 3 элемента; б) 2 и 4 элемента; в) 4 и 3 элемента; г) 0 и 4 элемента; д) по 4 элемента; е) по 2 элемента (рисунок перенести).

Указание: элементы можно изображать точками.

6. Найдите (по рис.) (AUB) UC и AU (BUC). Выделите указанные операции другим цветом. Сделайте вывод. Рисунок перенесите себе в тетрадь.

7. Собрались 12 волейболистов и 9 теннисистов, всего 16 человек. Сколько из них играют и в волейбол, и в теннис?

8. Пусть ^ – множество всех равносторонних треугольников; U – универсальное множество – множество всех треугольников. Какие треугольники содержатся во множестве

9. Доказать:
а) 

б) ;
10. Упростить выражения:
а) ;
б)  .

Контрольная работа №2

Логика высказываний
1. Опираясь на интуитивное представление о логическом следовании, укажите, какие из приведенных умозаключений являются правильными, а какие неправильными:

а). все математики – музыканты, значит, некоторые музыканты – математики;

б) Платон – философ, Аристотель – философ, Шопенгауэр – философ. Значит, все люди – философы;

в) все растения дышат. Микробы не дышат. Значит, микробы не растения;

г) некоторые люди умеют писать. Некоторые люди умеют читать. Следовательно, некоторые люди умеют и читать, и писать;

д) чтобы хорошо сдать зачет, надо иметь или учебник, или конспект. Но ни учебника, ни конспекта нет. Значит, экзамен не будет сдан хорошо.

2. Укажите посылки и заключение в каждом из следующих умозаключений:

а) все грибы – растения, а все растения имеют корни. Значит, все грибы имеют корни;

б) некоторые животные – млекопитающие. Поскольку все млекопитающие теплокровные, то некоторые животные являются теплокровными;

в) если закон всемирного тяготения верен, с его помощью можно открыть другие законы. Закон всемирного тяготения верен, поэтому с его помощью могут быть открыты другие законы;

г) события, происходящие в мире, необратимы. Вымирание птеродактилей было одним из событий всемирной истории. Значит, это событие также необратимо;

д) если камень – жидкость, он не имеет собственной пространственной формы. Но камень имеет такую форму. Следовательно, он – не жидкость.

3. Отгадайте следующие не совсем серьезные загадки, основывающиеся на многозначности:

а) в комнате есть свеча и керосиновая лампа. Что вы зажжете первым, когда вечером войдете в эту комнату?

б) у некоего фермера восемь свиней: три розовые, четыре бурые и одна черная. Сколько свиней могут сказать, что в этом небольшом стаде найдется, по крайней мере, ещё одна свинья такой же масти, как и её собственная?

в) действительно ли композитором надо родиться?

г) раздается ли какой-нибудь звук при падении дерева в глухом лесу, если поблизости нет ушей, чтобы его слышать?

д) три теленка – сколько ног?

4. Укажите, какие из следующих высказываний являются бессмысленными:

а) Александр Македонский мало чему научился у своего учителя Аристотеля;

б) «Крекс, фекс, пекс» – вот мой ответ;

в) мы шли вдвоем: он в пальто, а я в СШРБ;

г) тот, кто прыгает в длину в секторе для толкания ядра, определенно «играет в другую игру»;

д) глокая куздря штеко будланула бокра и курдачит бокренка.

5. С помощью логических связок образуйте сложные высказывания из простых:

а) если завтра выпадет снег, мы пойдем в кино и возьмем с собой голову;

б) кто ясно мыслит, ясно говорит;

в) он образованный человек и неправда, что у него неважная память;

г) здесь холодно, и было бы хорошо, если бы лучше топили;

д) если свет имеет волновую природу, то когда он представляется в виде потока частиц (корпускул), допускается ошибка.

6. Определите значения истинности следующих высказываний:

а) Луна – планета и 2+3=5;

б) Луна – планета или 2+3=5;

в) 1 – простое число или 2 – простое число;

г) две прямые на плоскости параллельны и пересекаются;

д) если Москва – большой город, то солнце заходит на юге.

7. Используя таблицы истинности для логических связок, определите истинное значение приведенных высказываний:
а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .
8. Определите с помощью таблиц истинности, какие из приведенных формул являются товтологиями:
а) ;

б) .
9. Докажите законы де Моргана в булевой алгебре:
а) ;

б) .
10. С помощью булевой алгебры докажите, что.
Контрольная работа №3

Логика предикатов


  1. Записать формулой логики предикатов предложение, отражающее транзитивное свойство делимости целых чисел.

  2. Дать словесные формулировки следующих составных высказываний (предложений): Р1Р2, где Р1 – предикат «число 3n является четным»; Р2 – предикат «число n – четное» (достаточно указать 7–8 синонимов эквивалентности высказываний).

  3. Записать предикатной формулой предложение «Любой человек имеет отца»: (использовать предикат «х – человек» и «у – отец х»).

  4. Установить истинность или ложность следующей предикатной формулы:, где П – предикат произведения, определенный на множестве натуральных чисел N .

  5. Выразить один квантор через другой 

  6. Получить префиксную нормальную формулу (ПНФ) предикатной формулы: (, указывая справа при эквивалентных преобразованиях номер используемого эквивалентного соотношения из курса лекций.

Вопросы к зачету


  1. Предмет математической современной логики, его задачи и роль в математике.

  2. Канторовское понятие множества. Конечные и бесконечные множества (примеры).

  3. Равенство множеств. Подмножество множеств. Изображение множеств с помощью диаграмм Эйлера-Венна (примеры).

  4. Определение операций объединения, пересечения и дополнения (примеры).

  5. Основные тождества множеств. Принцип двойственности.

  6. Определение высказывания. Логические связки (их синонимы в русском языке и математическая (символическая) запись). Порядок выполнения операций над логическими связками.

  7. Определение логических связок (примеры).

  8. Синонимы импликации и эквиваленции (примеры).

  9. Операции над высказываниями.

  10. Логическая эквивалентность. Свойства логических операций.

  11. Основные равносильности алгебраических высказываний. Принцип двойственности.

  12. Тавтология или законы логики (определение и примеры).

  13. Основные законы логики.

  14. Законы логики для противоречивых высказываний. Принцип двойственности.

  15. Аналогия между теорией множеств и алгеброй высказываний (примеры).

  16. Правила логического вывода. Посылки и заключение. Основная формула (примеры).

  17. Понятие булевой алгебры. Её назначение и применение (примеры).

  18. Основные зависимости булевой алгебры.

  19. Предикаты и кванторы. Понятие и определения.

  20. Операции над предикатами (примеры).

  21. Закон отрицания предикатов (пример).

  22. Основные логические эквиваленции предикатов.

  23. Процедура получения префиксной нормальной формы (ПНФ).

  24. Сущность индукции в математике. Виды индукции. Индукция и аналогия. Индукция и дедукция.

  25. Индукция при поиске математических закономерностей.

  26. Индукция при поиске способа решения задачи.

  27. Предельный случай.

  28. Сущность метода математической индукции.

  29. Основные этапы математической индукции.

  30. Софизмы и парадоксы. Их роль в мышлении и науке.

Cсылка для сайта (HTML):

Cсылка для форума (BBCode):